Determine o valor de k para que o sistema
l x+y+z=0 x+2 y+k z=2 k x+2 y+z=-2
seja:
Impossível.

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que o sistema
x+y+z=0 x+2y+kz=2 kx+2y+z=-2
seja impossível. Vamos usar a condição de incompatibilidade de sistemas lineares, isto é, comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada; para identificar quando o posto da matriz dos coeficientes cai, calculamos seu determinante.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k k & 2 & 1
e calculamos
det(A) =1cdot(2cdot1 - kcdot2) -1cdot(1cdot1 - kcdot k) +1cdot(1cdot2 - 2cdot k) = k^2 -4k +3

Passo 3

Colocamos det(A)=0 para achar onde o posto cai:
k^2 -4k +3 = 0 Longrightarrow (k-1)(k-3)=0 Longrightarrow k=1 ou k=3

Passo 4

Para o sistema ser impossível é preciso que, além de det(A)=0, a matriz aumentada tenha posto maior que o de A.
Teste k=1: as duas últimas equações viram
x+2y+z=2 e x+2y+z=-2,
que são contraditórias. Então a matriz aumentada tem posto 2 (ou 3) enquanto A tem posto 1 ou 2, gerando incompatibilidade. Para k=3 não há contradição e o sistema fica indeterminado.

Resposta

k=1

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