Sejam a, b \in \mathbb{R} \backslash\{0\}. Considere a função
f(x)=\frac{a x}{x-b}
restrita ao intervalo ( b,+\infty ). Sabendo que a e b tem sinais opostos, podemos concluir que:
a) f é crescente e côncava para cima.
b) f é crescente e côncava para baixo.
c) f é decrescente e côncava para cima.
d) f é decrescente e côncava para baixo.
e) f muda de concavidade.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{a\,x}{x-b}
restrita ao intervalo (b,+\infty), com a e b não nulos e de sinais opostos (ou seja, a\,b<0). Vamos determinar o sinal da derivada primeira para ver se f é crescente ou decrescente, e em seguida o sinal da derivada segunda para concluir sobre a concavidade.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para calcular a primeira derivada:
f'(x) =\frac{(a)(x-b)-(a\,x)(1)}{(x-b)^{2}} =\frac{a\,x - a\,b - a\,x}{(x-b)^{2}} =\frac{-a\,b}{(x-b)^{2}}.
Como (x-b)^{2}>0 para todo x>b, o sinal de f'(x) é o de -a\,b. Mas como a\,b<0, temos -a\,b>0. Logo
f'(x)>0\quad\text{em }(b,+\infty),
isto é, f é crescente.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada, derivando f'(x)=-a\,b\,(x-b)^{-2}:
f''(x) =-a\,b\cdot(-2)\,(x-b)^{-3} =\frac{2\,a\,b}{(x-b)^{3}}.
No intervalo (b,+\infty) temos (x-b)^{3}>0, e como a\,b<0, o numerador 2\,a\,b é negativo. Portanto
f''(x)<0\quad\text{em }(b,+\infty),
ou seja, f é côncava para baixo.

Resposta

b) f é crescente e côncava para baixo.

Exercícios relacionados