Sejam
. Considere a função
restrita ao intervalo (
). Sabendo que
e
tem sinais opostos, podemos concluir que:
a)
é crescente e côncava para cima.
b)
é crescente e côncava para baixo.
c)
é decrescente e côncava para cima.
d)
é decrescente e côncava para baixo.
e)
muda de concavidade.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define a função
restrita ao intervalo
, com
e
não nulos e de sinais opostos (ou seja,
). Vamos determinar o sinal da derivada primeira para ver se
é crescente ou decrescente, e em seguida o sinal da derivada segunda para concluir sobre a concavidade.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente para calcular a primeira derivada:
Como
para todo
, o sinal de
é o de
. Mas como
, temos
. Logo
isto é,
é crescente.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada, derivando
:
No intervalo
temos
, e como
, o numerador
é negativo. Portanto
ou seja,
é côncava para baixo.
Resposta
b)
é crescente e côncava para baixo.