Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^prime(x)=y

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o campo de direções da equação diferencial
y'(x)=y
enquanto encontrarmos a solução geral e, por fim, sobrepor algumas curvas integrais (soluções particulares) ao campo de direções. O conteúdo envolvido é resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem por variáveis separáveis e interpretação geométrica (campo de direções e curvas de nível).

Passo 2

Para resolver
y' = y
reconhecemos que é uma equação separável. Escrevemos
dydx = y Longrightarrow 1y,dy = dx
Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1,dx Longrightarrow ln!l|yr| = x + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Elevando exponencialmente, obtemos
l|yr| = e^x+C1 = e^C1,e^x
Definindo C = pm e^C1 (que se torna uma constante real arbitrária), a solução geral fica
y(x) = C,e^x

Passo 4

Para graficar o campo de direções em Desmos:
  1. Abra Desmos e selecione o recurso “Slope Field” ou insira na primeira linha
    SlopeField(y'=y,;x,-3,3,;y,-3,3).
  2. Isso desenha pequenos segmentos de reta em cada ponto (x,y) com inclinação igual a y.
  3. Para sobrepor curvas integrais, adicione várias expressões do tipo y = C,e^x variando C (por exemplo, C=-2,,-1,,0,,1,,2).
O resultado mostra um campo de direções que fica mais “inclinado” para cima conforme y aumenta, e as curvas y=Ce^x seguem exatamente essas orientações.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'=y é
y(x) = C,e^x,
e no gráfico do campo de direções cada integral curve corresponde a uma dada constante C.

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