Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o campo de direções da equação diferencial
enquanto encontrarmos a solução geral e, por fim, sobrepor algumas curvas integrais (soluções particulares) ao campo de direções. O conteúdo envolvido é resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem por variáveis separáveis e interpretação geométrica (campo de direções e curvas de nível).
Passo 2
Para resolver
reconhecemos que é uma equação separável. Escrevemos
Agora integramos ambos os lados:
onde C1 é constante de integração.
Passo 3
Elevando exponencialmente, obtemos
l|yr| = e^x+C1 = e^C1,e^x
Definindo C = pm e^C1 (que se torna uma constante real arbitrária), a solução geral fica
y(x) = C,e^x
Passo 4
Para graficar o campo de direções em Desmos:
Abra Desmos e selecione o recurso “Slope Field” ou insira na primeira linha SlopeField(y'=y,;x,-3,3,;y,-3,3).
Isso desenha pequenos segmentos de reta em cada ponto (x,y) com inclinação igual a y.
Para sobrepor curvas integrais, adicione várias expressões do tipo y = C,e^x variando C (por exemplo, C=-2,,-1,,0,,1,,2).
O resultado mostra um campo de direções que fica mais “inclinado” para cima conforme y aumenta, e as curvas y=Ce^x seguem exatamente essas orientações.
Resposta
A solução geral da equação diferencial y'=y é
y(x) = C,e^x,
e no gráfico do campo de direções cada integral curve corresponde a uma dada constante C.