Determine o valor de m de forma que lim x -2 3 x^2+m x+m+3x^2+x-2=-1.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que o limite de uma função racional em x→–2 seja –1. O conteúdo é limite de função e remoção de indeterminação 0/0, e vamos precisar impor que tanto numerador quanto denominador se anulem em x=–2.

Passo 2

Para que o limite seja finito (não infinito) e dê –1, a forma deve ser 0/0 em x=–2, ou seja, o numerador deve zerar em x=–2. Substituindo na expressão do numerador:
3(-2)^2 + m(-2) + (m+3) = 0

Passo 3

Calculando:
3cdot4 -2m + m +3 = 0 implies 12 - m +3 = 0 implies 15 - m = 0 implies m = 15

Passo 4

Com m=15, o numerador fica 3x²+15x+18 = 3(x+2)(x+3) e o denominador x²+x-2 = (x+2)(x-1). Cancelando x+2 e fazendo x→–2, obtemos:
limxto-2 3(x+3)x-1 = 3,(1)-3 = -1,

Passo 5

que coincide com o exigido. Portanto m=15 atende ao problema.

Resposta

15

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