Seja f: R R definida por f(x)=cc|x|+x, & se |x| <= 1 3, & se |x|>1. Verifique se f possui limite nos pontos 1 e-1. A fun ção é contınua em 1 e -1?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f: R to R definida por
f(x)= |x|+x, &se |x|<=1, 3, &se |x|>1
possui limite nos pontos x=1 e x=-1, e se ela é contínua nesses pontos. Vamos usar cálculo de limites laterais e a definição de continuidade (limite igual ao valor da função).

Passo 2

Para facilitar o cálculo, note que para |x|<=1 temos duas situações:
|x|+x= 2x, & x>=0, 0, & x<0
Logo a função completa é
f(x)= 3, & x>1, 2x, & 0<= x<=1, 0, & -1<= x<0, 3, & x<-1

Passo 3

Analisando xto1: o limite pela esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2cdot1=2,
e pela direita é
limxto1^+f(x)=3
Como 2neq3, o limite em x=1 não existe. Além disso, f(1)=|1|+1=2, então nem há continuidade.

Passo 4

Analisando xto-1: o limite pela direita é
limxto(-1)^+f(x)=limxto(-1)^+0=0,
e pela esquerda é
limxto(-1)^-f(x)=3
Como 0neq3, o limite em x=-1 não existe. Também f(-1)=|-1|+(-1)=0, logo não é contínua em x=-1.

Resposta

A função não possui limite nem em x=1 nem em x=-1 (os limites laterais são diferentes) e, consequentemente, não é contínua nesses pontos.

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