Determine o valor de m \in \mathbb{R} para que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} m x+2 y=6 \\\\ 3 x-y=-2 \\\ x+y=0 \end{array}\right.
tenha infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá o sistema em (x,y) com parâmetro m:
\begin{cases} m\,x + 2\,y = 6,\\\\ 3\,x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares com parâmetro; como temos 3 equações e 2 incógnitas, só podemos ter infinitas soluções se todas as equações forem proporcionais (isto é, se o posto da matriz de coeficientes for 1).
Passo 2
Para ter infinitas soluções num sistema de duas incógnitas, o posto da matriz de coeficientes deve ser 1. Isso exige que cada equação seja múltipla escalar de qualquer outra. Em particular, a segunda e a terceira equação deveriam ser proporcionais.
Passo 3
Compare a segunda equação
3\,x - y = -2
com a terceira
x + y = 0.
Se existisse escalar k tal que
3\,x - y = k\,(x + y),
teríamos 3 = k pela comparação dos coeficientes de x e -1 = k pela comparação dos coeficientes de y. Mas 3\neq -1, logo não há k que torne essas duas equações proporcionais.
Passo 4
Como a segunda e a terceira equação são linearmente independentes, o posto da matriz de coeficientes é pelo menos 2, independentemente de m. Com duas incógnitas, posto 2 dá no máximo solução única (ou nenhuma).
Passo 5
Não há como reduzir o posto para 1 ajustando m, pois somente a primeira equação depende de m, enquanto as equações 2 e 3 já são independentes.
Resposta
Não existe valor de m tal que o sistema tenha infinitas soluções.