Exercício 1.1.1. Seja
definido por
. Encontre:
a) os autovalores de
;
b) os autovetores de
associados a cada autovalor.
a) os autovalores de
b) os autovetores de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (a) os autovalores e (b) os autovetores de
. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor:
com
.
Passo 2
Escrevendo a condição
obtemos o sistema
isto é
Passo 3
Cada equação dá
Para existir vetor próprio não nulo, ou
ou
.
Passo 4
Se
, então
e segue
Se
, então
e segue
Logo os autovalores são
e
.
Passo 5
Para
, da segunda equação
vem
, enquanto
pode ser qualquer número não nulo. Os autovetores são
Passo 6
Para
, da primeira equação
vem
, enquanto
pode ser qualquer número não nulo. Os autovetores são
Resposta
(a) Os autovalores são
e
.
(b) O espaço próprio de é
e o espaço próprio de
é
.
(b) O espaço próprio de