Exercício 1.1.1. Seja T_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T_{1}(x, y)=(5 x,-2 y), \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}. Encontre:
a) os autovalores de T_{1};
b) os autovetores de T_{1} associados a cada autovalor.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T_{1}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T_{1}(x,y) = (5x,\,-2y),
e pede (a) os autovalores e (b) os autovetores de T_{1}. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor: \,T_{1}(v)=\lambda v com v\neq(0,0).

Passo 2

Escrevendo a condição T_{1}(x,y) = \lambda\,(x,y) obtemos o sistema
(5x,\,-2y) = (\lambda x,\;\lambda y),
isto é
5x = \lambda x, \quad -2y = \lambda y.

Passo 3

Cada equação dá
(5-\lambda)x = 0, \quad (-2-\lambda)y = 0.
Para existir vetor próprio não nulo, ou x\neq0 ou y\neq0.

Passo 4

Se x\neq0, então 5-\lambda=0 e segue
\lambda = 5.
Se y\neq0, então -2-\lambda=0 e segue
\lambda = -2.
Logo os autovalores são \lambda_{1}=5 e \lambda_{2}=-2.

Passo 5

Para \lambda=5, da segunda equação (-2-5)y=-7y=0 vem y=0, enquanto x pode ser qualquer número não nulo. Os autovetores são
\bigl\{(x,0)\mid x\neq 0\bigr\}.

Passo 6

Para \lambda=-2, da primeira equação (5+2)x=7x=0 vem x=0, enquanto y pode ser qualquer número não nulo. Os autovetores são
\bigl\{(0,y)\mid y\neq 0\bigr\}.

Resposta

(a) Os autovalores são \,5 e -2.
(b) O espaço próprio de \,5 é \{(x,0)\mid x\neq0\} e o espaço próprio de -2 é \{(0,y)\mid y\neq0\}.

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