Exercício 1.1.2. Seja T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a reflexão em torno do eixo 0 x que é dada por T_{2}(x, y)= (x,-y). Encontre:
a) os autovalores de T_{2};
b) os autovetores de T_{2} associados a cada autovalor.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear de reflexão em torno do eixo 0x:
Queremos encontrar os autovalores e os autovetores de T_{2}. Para isso, vamos usar a representação matricial no sistema de base canônica, calcular o polinômio característico e resolver \bigl(T_{2}-\lambda I\bigr)v=0.
Passo 2
Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T_{2} é
logo x=0 e y livre. Os autovetores são todos os (0,y)\neq(0,0), ou seja
E_{2}=\mathrm{span}\{(0,1)\}.
Resposta
a) Os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.
b) O autovetor associado a \lambda_{1}=1 é qualquer múltiplo de (1,0).
O autovetor associado a \lambda_{2}=-1 é qualquer múltiplo de (0,1).