Exercício 1.1.2. Seja T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a reflexão em torno do eixo 0 x que é dada por T_{2}(x, y)= (x,-y). Encontre:
a) os autovalores de T_{2};
b) os autovetores de T_{2} associados a cada autovalor.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear de reflexão em torno do eixo 0x:
T_{2}\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T_{2}(x,y)=(x,-y).
Queremos encontrar os autovalores e os autovetores de T_{2}. Para isso, vamos usar a representação matricial no sistema de base canônica, calcular o polinômio característico e resolver \bigl(T_{2}-\lambda I\bigr)v=0.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T_{2} é
[T_{2}]=\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix},
pois T_{2}(1,0)=(1,0) e T_{2}(0,1)=(0,-1).

Passo 3

O polinômio característico vem de
\det\bigl([T_{2}]-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\,(-1-\lambda).
Igualando a zero, obtemos os autovalores
(1-\lambda)(-1-\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=1,\quad \lambda_{2}=-1.

Passo 4

Para \lambda_{1}=1, resolvemos
(T_{2}-I)(x,y)=(0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad (x,-y)-(x,y)=(0,0) \;\Longrightarrow\;(-2y=0),
logo y=0 e x livre. Os autovetores são todos os (x,0)\neq(0,0), ou seja
E_{1}=\mathrm{span}\{(1,0)\}.

Passo 5

Para \lambda_{2}=-1, resolvemos
(T_{2}+I)(x,y)=(0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad (x,-y)+(x,y)=(0,0) \;\Longrightarrow\;(2x=0),
logo x=0 e y livre. Os autovetores são todos os (0,y)\neq(0,0), ou seja
E_{2}=\mathrm{span}\{(0,1)\}.

Resposta

a) Os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.
b) O autovetor associado a \lambda_{1}=1 é qualquer múltiplo de (1,0).
O autovetor associado a \lambda_{2}=-1 é qualquer múltiplo de (0,1).

Exercícios relacionados