Determine o valor de m sabendo que as retas são coplanares.
r:c y=4 x-3 z=-2 x+1 e s: x-4=ym=z+2

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e
.
Queremos o valor de para que e sejam coplanares.
Conteúdo: forma paramétrica de reta, vetores diretor e condição de coplanaridade via produto misto.

Passo 2

Escrevendo
logo um ponto em (quando ) e o vetor diretor é

Passo 3

Para s parametrize por lambda=x-4. Assim
x=4+lambda, ym=lambdaimplies y=mlambda, z+2=lambdaimplies z=lambda-2
Dessa forma um ponto em s é Q0=(4,0,-2) (quando lambda=0) e o vetor diretor é
vec vs=(1,m,1)
O vetor que liga P0 a Q0 é
P0Q0=Q0-P0=(4,0,-2)-(0,-3,1)=(4,3,-3)

Passo 4

Duas retas são coplanares se e só se o produto misto
l(P0Q0,,vec vr,,vec vsr) =P0Q0cdotl(vec vrtimesvec vsr)
for zero. Primeiro calculemos
vec vrtimesvec vs =det i&j&k 1&4&-2 1&m&1 =(4cdot1-(-2),m,;-[1cdot1-(-2)cdot1],;1cdot m-4cdot1) =(4+2m,,-3,;m-4)

Passo 5

Agora o produto escalar com P0Q0=(4,3,-3):
(4,3,-3)cdot(4+2m,,-3,;m-4) =4(4+2m)+3(-3)+(-3)(m-4) =16+8m-9-3m+12 =19+5m
Para coplanaridade impomos
19+5m=0 Longrightarrow m=-195

Resposta

m=-195

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