Um paralelepípedo é determinado pelos vetores
u=(2,-1,3), v=(2,2,1) e w=(-2,1,0)
Calcule o volume desse paralelepípedo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo definido pelos vetores u = (2, -1, 3), v = (2, 2, 1) e w = (-2, 1, 0). Nosso objetivo é calcular o volume desse paralelepípedo. Para isso, vamos usar o conceito de produto mixto, que envolve determinantes e vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores u, v e w é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores. O produto misto pode ser calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como colunas:
2 & 2 & -2 -1 & 2 & 1 3 & 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
a = 2, b = 2, c = -2, d = -1, e = 2, f = 1, g = 3, h = 1, i = 0
det = 2(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - 2((-1) cdot 0 - 1 cdot 3) + (-2)((-1) cdot 1 - 2 cdot 3)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
2(0 - 1) = 2(-1) = -2
-2(0 - 3) = -2(-3) = 6
-2((-1) - 6) = -2(-7) = 14
Agora, somamos tudo:
-2 + 6 + 14 = 18

Passo 6

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante:
V = |18| = 18

Resposta

O volume do paralelepípedo é 18 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados