Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços?
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Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
sobre
. Para isso, vamos conferir as três propriedades de subespaço: conter o vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
segue que
.
Passo 3
Testamos o fechamento sob soma. Se
e
estão em
, então
Somando coordenada a coordenada obtemos
que é soma de inteiros, logo pertence a
. Portanto
.
Passo 4
Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Tome
, isto é,
, e um escalar
. Então
Para que
fique em
seria necessário
para todo
. Mas, por exemplo, escolha
e
. Então
logo
. Falha o fechamento escalar.