Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços?
W=(x, y, z) in R^3: x+y in Z;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 mid x+yinZ
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3 sobre R. Para isso, vamos conferir as três propriedades de subespaço: conter o vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como
0 + 0 = 0 in Z,
segue que (0,0,0)in W.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma. Se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) estão em W, então
x1 + y1 in Z e x2 + y2 in Z
Somando coordenada a coordenada obtemos
(x1+x2)+(y1+y2) =(x1+y1)+(x2+y2),
que é soma de inteiros, logo pertence a Z. Portanto (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in W.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Tome (x,y,z)in W, isto é, x+yinZ, e um escalar lambdainR. Então
lambda(x+y)=lambda,x+lambda,y
Para que (lambda x,lambda y,lambda z) fique em W seria necessário lambda(x+y)inZ para todo lambdainR. Mas, por exemplo, escolha (x,y,z)=(1,0,0)in W e lambda=tfrac12. Então
lambda(x+y)=tfrac12cdot1=tfrac12notinZ,
logo tfrac12(1,0,0)notin W. Falha o fechamento escalar.

Resposta

W não é subespaço de R^3.

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