Três produtos químicos, \mathrm{X}, \mathrm{Y} e Z , são utilizados em um laboratório. O estoque total é de 28 unidades. Sabe-se que a quantidade do produto X é igual à soma das quantidades de Y e Z. Além disso, a quantidade do produto Z é a metade da quantidade do produto Y. Monte um sistema linear que represente esta situação e resolva-o para encontrar a quantidade de cada produto.

Passo 1

Vamos definir as variáveis: x = quantidade do produto X, y = quantidade do produto Y, z = quantidade do produto Z.
Precisamos usar três informações do enunciado para montar um sistema linear.

Passo 2

Traduzindo as informações em equações:
  1. O estoque total é de 28 unidades:
x + y + z = 28.
  1. A quantidade de X é igual à soma de Y e Z:
x = y + z.
  1. A quantidade de Z é a metade da quantidade de Y:
z = \tfrac12\,y.

Passo 3

Usamos a terceira equação para eliminar z. Como z = \tfrac12\,y, substituímos em
x = y + z
e em
x + y + z = 28.
Na segunda equação fica
x = y + \tfrac12\,y = \tfrac32\,y.

Passo 4

Substituindo x=\tfrac32\,y e z=\tfrac12\,y na primeira equação:
\tfrac32\,y + y + \tfrac12\,y = 28.
Somando coeficientes:
\Bigl(\tfrac32 + 1 + \tfrac12\Bigr)y = 3y = 28 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{28}{3}.

Passo 5

Agora calculamos z e x:
z = \tfrac12\,y = \tfrac12 \cdot \tfrac{28}{3} = \tfrac{14}{3},
x = \tfrac32\,y = \tfrac32 \cdot \tfrac{28}{3} = 14.

Resposta

x = 14, y = \tfrac{28}{3}, z = \tfrac{14}{3}.

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