Determine o valor do maior lado, sabendo as medidas dos lados AB, BC e AC de um triângulo ABC cujo ângulo B vale 120^{\circ}:
\begin{aligned} & x+5 \\\ & 5-x \\\ & x+2 \end{aligned}

Passo 1

O triângulo ABC tem três lados dados pelas expressões \,x+5,\;5-x,\;x+2,
e o ângulo em B vale 120^\circ. Na aplicação da lei dos cossenos, usamos os dois lados que formam \angle B e o lado oposto, que é AC. Como \angle B=120^\circ é o maior ângulo, o lado AC também será o maior lado do triângulo. Logo, fazemos a atribuição
AC = x+5,\quad AB = 5 - x,\quad BC = x + 2.

Passo 2

Pela lei dos cossenos aplicada a \angle B, temos
AC^2 \;=\; AB^2 \;+\; BC^2 \;-\;2\,(AB)(BC)\,\cos120^\circ.
Como \cos120^\circ=-\tfrac12, isso fica
(x+5)^2 \;=\;(5-x)^2 + (x+2)^2 + (5-x)(x+2).

Passo 3

Expandindo cada termo:
(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25,
(5-x)^2 = x^2 - 10x + 25,\quad (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4,\quad (5-x)(x+2) = -x^2 + 3x +10.
Somando os três últimos e igualando ao primeiro:
x^2+10x+25 \;=\; (x^2-10x+25)+(x^2+4x+4)+(-x^2+3x+10) \;=\;x^2-3x+39.
Logo
x^2+10x+25 = x^2 -3x +39 \;\Longrightarrow\; 13x = 14 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{14}{13}.
Verificamos ainda o domínio das medidas: -2<x<5, e \tfrac{14}{13} está nele.

Passo 4

Como definimos AC = x+5, o maior lado vale
AC = x+5 = \frac{14}{13} + 5 = \frac{14 + 65}{13} = \frac{79}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{79}{13}

Exercícios relacionados