Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
r=\frac{(\theta-1)\left(\theta^{2}+\theta+1\right)}{\theta^{3}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
r(\theta)=\frac{(\theta-1)\bigl(\theta^{2}+\theta+1\bigr)}{\theta^{3}}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas, em particular uso da regra do produto/quociente e da regra da potência.

Passo 2

Perceba que o numerador se expande facilmente:
(\theta-1)\bigl(\theta^{2}+\theta+1\bigr)=\theta^{3}-1.
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r(\theta)=\frac{\theta^{3}-1}{\theta^{3}} =1-\frac{1}{\theta^{3}} =1-\theta^{-3}.

Passo 3

Para a primeira derivada usamos a regra da potência: se f(\theta)=\theta^{n}, então f'(\theta)=n\,\theta^{n-1}. Aplicando em
r(\theta)=1-\theta^{-3}
temos
r'(\theta)=0-\bigl(-3\bigr)\,\theta^{-4} =3\,\theta^{-4} =\frac{3}{\theta^{4}}.

Passo 4

Para a segunda derivada derivamos r'(\theta)=3\,\theta^{-4} de novo pela regra da potência:
r''(\theta)=3\cdot(-4)\,\theta^{-5} =-12\,\theta^{-5} =-\frac{12}{\theta^{5}}.

Resposta

\displaystyle r'(\theta)=\frac{3}{\theta^{4}},\quad r''(\theta)=-\frac{12}{\theta^{5}}.

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