(2.5 pontos) Resolva a seguinte EDO de segunda ordem
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=6 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y'' + 3y' + 2y = 6.
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes. A estratégia é encontrar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular.

Passo 2

Na parte homogênea temos
y'' + 3y' + 2y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja fatoração é (r+1)(r+2)=0. Assim as raízes são r=-1 e r=-2, e a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo não homogêneo é a constante 6, tentamos y_p=A. Então y_p'=0 e y_p''=0, e a EDO dá
0 + 3\cdot0 + 2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A = 3.
Logo
y_p(x) = 3.

Passo 4

A solução geral da equação dada é a soma de y_h com y_p:
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.

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