Num triângulo obtusângulo e isósceles, os ângulos da base medem 30^{\circ} cada um. Determine a base do triângulo, sabendo que os lados congruentes medem 10 cm cada um.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo isósceles obtusângulo cujos dois lados congruentes medem 10 cm e os ângulos da base medem 30^\circ cada. Precisamos encontrar a medida da base usando a Lei dos Cossenos.

Passo 2

Primeiro determinamos a medida do ângulo ao vértice (apice), que é o ângulo entre os dois lados de 10 cm. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ, temos
\theta = 180^\circ - 2\cdot 30^\circ = 120^\circ.

Passo 3

Aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo, tomando b como a base oposta ao ângulo \theta=120^\circ e a=b nos dois lados iguais de 10 cm:
b^2 = 10^2 + 10^2 - 2\cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ).

Passo 4

Calculamos o valor numérico:
\cos(120^\circ) = -\tfrac12,
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b^2 = 100 + 100 - 2\cdot100\cdot(-\tfrac12) = 200 + 100 = 300,
e
b = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}.

Resposta

A base do triângulo mede 10\sqrt{3} cm.

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