Foram aplicadas as seguintes operações elementares nas linhas de uma matriz quadradada A :
  • permutação das linhas 1 e 3 , obtendo a matriz A1;
  • substituição da linha 2 de A1 pela soma da linha 2 de A1 com menos 3 vezes a linha 1 de A1, obtendo a matriz A2;
  • substituição da linha 3 de A2 pela soma da linha 3 de A2 com 5 vezes a linha 1 de A2, obtendo a matriz A3;
  • permutação das linhas 2 e 3 da matriz A3, obtendo a matriz A4;
  • substituição da linha 3 de A4 pela soma da linha 3 de A4 com 2 vezes a linha 2 de A4, obtendo a matriz A5.
    Sabendo que det(A5)=37 calcule o determinante da matriz A.

Passo 1

Resumo do enunciado: partimos de uma matriz quadrada A e, aplicando várias operações elementares de linha, chegamos à matriz A5 cuja determinante é det(A5)=37. O conteúdo aqui é o efeito dessas operações sobre o determinante:
  • Troca de duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.

Passo 2

Primeira operação: permutação das linhas 1 e 3 de A, resultando em A1. Logo,
det(A1) = -,det(A)

Passo 3

Segunda operação: em A1, a linha 2 é substituída pela linha 2 menos 3 vezes a linha 1. Isso não altera o determinante. Portanto,
det(A2) = det(A1) = -,det(A)

Passo 4

Terceira operação: em A2, a linha 3 é substituída pela linha 3 mais 5 vezes a linha 1. Novamente, sem efeito no determinante:
det(A3) = det(A2) = -,det(A)

Passo 5

Quarta operação: permutação das linhas 2 e 3 de A3, gerando A4. Isso inverte o sinal do determinante:
det(A4) = -,det(A3) = -l(-,det(A)r) = det(A)

Passo 6

Quinta operação: em A4, a linha 3 é substituída pela linha 3 mais 2 vezes a linha 2, sem alterar o determinante. Logo,
det(A5) = det(A4) = det(A)

Resposta

Como det(A5)=37 e det(A5)=det(A), concluímos que
det(A)=37

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