Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
, eixo-y
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo: vamos girar a região limitada por y = x^3, x = 0 e x = 2 em torno do eixo y, calculando o volume do sólido de revolução. Precisamos aplicar o método das cascas cilíndricas, pois a região está descrita em função de x e o eixo de rotação é vertical.
Passo 2
Escolhemos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, obtida cortando o sólido a uma abscissa x, tem raio igual a x (distância até o eixo y), altura igual a y = x^3 e espessura dx. A fórmula geral do volume de cada casca é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.
Passo 3
Substituindo o raio e a altura na expressão de dV, obtemos
Integrando de x = 0 até x = 2, o volume total é
Passo 4
Cálculo da integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.