Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas:
y=x^3 x=0, x=2, eixo-y

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo: vamos girar a região limitada por y = x^3, x = 0 e x = 2 em torno do eixo y, calculando o volume do sólido de revolução. Precisamos aplicar o método das cascas cilíndricas, pois a região está descrita em função de x e o eixo de rotação é vertical.

Passo 2

Escolhemos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, obtida cortando o sólido a uma abscissa x, tem raio igual a x (distância até o eixo y), altura igual a y = x^3 e espessura dx. A fórmula geral do volume de cada casca é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.

Passo 3

Substituindo o raio e a altura na expressão de dV, obtemos
dV = 2pi l(xr) l(x^3r) ,dx = 2pi x^4 ,dx
Integrando de x = 0 até x = 2, o volume total é
V = integral0^2 2pi x^4 ,dx

Passo 4

Cálculo da integral:
V = 2pi integral0^2 x^4 ,dx = 2pi [ x^55 ]0^2 = 2pi cdot 325 = 64pi5

Resposta

O volume do sólido gerado é tfrac64pi5.

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