Determine o valor máximo da função f(x, y, z)=x+2 y+3 z na curva da interseção do plano x y+z=1 com o cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o máximo de
f(x,y,z)=x+2y+3z
sob as restrições
x^2+y^2=1, xy+z=1
O conjunto de admissíveis é a curva fechada dada pela interseção do cilindro com o plano. Para resolver, vamos parametrizar o cilindro e impor o plano, reduzindo a um problema em uma variável.

Passo 2

Parametrizamos o círculo x^2+y^2=1 por
x=cos t, y=sin t,
com tin[0,2pi). Da condição xy+z=1 vem
z=1-xy=1-cos t,sin t=1-tfrac12sin(2t)
Assim f vira função de t:
f(t) =cos t+2sin t +3l(1-tfrac12sin(2t)r)

Passo 3

Simplificamos:
f(t) =3+cos t+2sin t-tfrac32sin(2t)
Para achar extremos, calculamos a derivada:
f'(t) =-sin t+2cos t-3cos(2t),
e igualamos a zero:
-sin t+2cos t-3cos(2t)=0

Passo 4

Resolvendo numericamente
-sin t+2cos t-3cos(2t)=0
em [0,2pi) encontramos um ponto crítico principal
t^*approx2,04 rad
Não há extremos nas fronteiras pois f é 2pi-periódica e suave.

Passo 5

Calculamos
fmax=f(t^*) approx3+cos(2,04)+2sin(2,04)-tfrac32sinl(2cdot2,04r) approx5,566
Verifica-se numericamente que este é o maior valor, comparado com outros candidatos.

Resposta

O valor máximo de f na curva dada é aproximadamente
boxed5,566

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