Esboce as curvas dadas em coordenadas polares:
r=2-2 sen(theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva polar
r = 2 - 2sin(theta)
O conteúdo envolve técnicas de esboço em coordenadas polares: escolhemos ângulos notáveis, calculamos r, analisamos zeros, máximos e simetrias e, com isso, ligamos os pontos para visualizar a forma.

Passo 2

Calculamos r em ângulos-chave:
theta=0:
r(0)=2-2sin(0)=2-0=2,
ponto em (2, 0).
theta=tfracpi2:
rl(tfracpi2r)=2-2sinl(tfracpi2r)=2-2cdot1=0,
cuspide no polo.
theta=pi:
r(pi)=2-2sin(pi)=2-0=2,
ponto em (–2, 0).
theta=tfrac3pi2:
rl(tfrac3pi2r)=2-2sinl(tfrac3pi2r)=2-2(-1)=4,
ponto em (0, –4).

Passo 3

Analisamos simetrias. Note que
sin(pi-theta)=sin(theta),
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r(pi-theta)=2-2sin(pi-theta)=2-2sin(theta)=r(theta),
o que mostra simetria em torno da reta theta=tfracpi2 (eixo vertical).

Passo 4

Verificamos o sinal de r: como sin(theta)<=1, temos
r(theta)=2-2sin(theta)>=0
O mínimo r=0 ocorre em theta=tfracpi2 (cuspide) e o máximo r=4 em theta=tfrac3pi2. Não há laço interno, pois r nunca fica negativo.

Passo 5

Com os pontos principais e a simetria vertical, ligamos suavemente: começa em r=2 para theta=0, diminui até chegar a 0 em theta=tfracpi2 (cuspide), cresce até r=2 em theta=pi, atinge r=4 em theta=tfrac3pi2 e retorna a r=2 em theta=2pi. O esboço é um cardioide apontando para cima, com abaulamento voltado para baixo.

Resposta

A curva é um cardioide dado por
r=2l(1-sinthetar),
com cuspide no polo para theta=tfracpi2, vértice inferior em (0,-4) e simetria em torno do eixo vertical.

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