Determine o valor máximo da função f(x, y, z)=x+2 y+3 z na curva da interseção do plano x- y+z=1 com o cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O exercício pede para encontrar o máximo de uma função linear de três variáveis sujeita à curva definida pela interseção de um plano e de um cilindro. O conteúdo envolve otimização com restrições, que aqui vamos tratar parametrizando a curva de interseção.

Passo 2

Como a restrição cilíndrica é x^2+y^2=1, usamos a parametrização trigonométrica
$$x=\cos t,
\quad y=\sin t. x=cos t, y=sin tçãz = 1 - x + y = 1 - \cos t + \sin t.$$

Passo 3

Substituindo essa parametrização na função f(x,y,z)=x+2y+3z, temos
f(t) = cos t + 2sin t + 3(1 - cos t + sin t) = -2cos t + 5sin t + 3

Passo 4

Para maximizar a parte variável -2cos t +5sin t, usamos a identidade de que o máximo de Asin t + Bcos t é raizA^2+B^2. Aqui temos A=5 e B=-2, logo a amplitude é raiz5^2+(-2)^2=raiz29.

Resposta

3 + \sqrt{29}

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