Determine o valor máximo de 81 n-n^2, n inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função quadrática
f(n) = 81n - n^2
onde n é um número inteiro. Como se trata de uma parábola que abre para baixo (coeficiente de n^2 negativo), o valor máximo real ocorre no vértice. Para resolver no caso inteiro, vamos encontrar o vértice real e depois testar os inteiros mais próximos.

Passo 2

Escrevendo f(n)= -1cdot n^2 + 81cdot n, identificamos a=-1 e b=81. O vértice real de uma parábola ax^2+bx+c fica em
n0 = -b2a = -812cdot(-1) = 40,5

Passo 3

Como n deve ser inteiro, testamos em n=40 e em n=41, que são os vizinhos de 40,5:
f(40) = 81cdot40 - 40^2 = 3240 - 1600 = 1640,
f(41) = 81cdot41 - 41^2 = 3321 - 1681 = 1640
Nenhum inteiro próximo oferece valor maior.

Passo 4

Concluímos que o valor máximo de 81n - n^2 para n inteiro é
1640,
atingido em n=40 e n=41.

Resposta

1640

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