Uma empresa de construção deseja otimizar a distribuição de material para a construção de um pilar em forma de cilindro. O objetivo é minimizar o uso de material para o concreto, sujeito à restrição de que a altura do pilar deve ser o triplo do raio da base. A função de custo é dada por f(r, h)=2 pi r^2+2 pi r h, onde r é o raio da base e h é a altura do pilar. Encontre os valores de r e h que minimizam o custo de material, respeitando a restrição h=3 r.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função de custo
f(r,h) = 2pi r^2 + 2pi r,h
sujeita à restrição ,h = 3r.
O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis com restrição, que podemos resolver por substituição direta da restrição.

Passo 2

Substituímos h = 3r em f(r,h) para obter uma função de uma variável:
f(r) = 2pi r^2 + 2pi r,(3r) = 2pi r^2 + 6pi r^2 = 8pi r^2

Passo 3

Derivamos f(r) em relação a r e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
f'(r) = ddrl(8pi r^2r) = 16pi r,
condição de estacionariedade: 16pi r = 0 ;Longrightarrow; r = 0 çã

Passo 4

Para confirmar que é mínimo, fazemos o teste da segunda derivada:
f''(r) = ddrl(16pi rr) = 16pi > 0,
portanto em r=0 temos mínimo local.

Passo 5

Usando a restrição h = 3r obtemos
h = 3cdot 0 = 0

Resposta

r = 0, h = 0

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