Uma empresa de construção deseja otimizar a distribuição de material para a construção de um pilar em forma de cilindro. O objetivo é minimizar o uso de material para o concreto, sujeito à restrição de que a altura do pilar deve ser o triplo do raio da base. A função de custo é dada por
, onde
é o raio da base e
é a altura do pilar. Encontre os valores de
e
que minimizam o custo de material, respeitando a restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função de custo
sujeita à restrição
.
O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis com restrição, que podemos resolver por substituição direta da restrição.
O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis com restrição, que podemos resolver por substituição direta da restrição.
Passo 2
Substituímos
em
para obter uma função de uma variável:
Passo 3
Derivamos
em relação a
e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 4
Para confirmar que é mínimo, fazemos o teste da segunda derivada:
portanto em
temos mínimo local.
Passo 5
Usando a restrição
obtemos