Encontre os extremos absolutos da função
no domínio restrito a uma região circular
dada por:
Passo 1
O enunciado dá
definida no disco compacto
Como
é contínua em
, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos no interior (
) ou na fronteira (
). Vamos achar ambos.
Passo 2
No interior de
resolvemos
que dá
isto é, os quatro pontos
. Avaliando
nesses pontos:
Passo 3
Na fronteira usamos multiplicadores de Lagrange impondo
Dessa condição surge que ou
ou
.
Se
, então
leva a
e
quando
, e
quando
.
Se
, nota-se que
pois
. Como
e
implica
, obtemos
e assim
Passo 4
Reunindo todos os valores:
o mínimo absoluto é
e o máximo absoluto é
.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
e o valor máximo absoluto é
.