Encontre os extremos absolutos da função f(x, y)=x^3-3 x+y^3-3 y no domínio restrito a uma região circular R dada por:
R=(x, y) / x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=x^3-3x+y^3-3y
definida no disco compacto
R=(x,y)mid x^2+y^2<=4
Como f é contínua em R, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos no interior ( nabla f=0) ou na fronteira ( x^2+y^2=4). Vamos achar ambos.

Passo 2

No interior de R resolvemos
nabla f=(3x^2-3,;3y^2-3)=(0,0)
que dá
x^2=1, y^2=1,
isto é, os quatro pontos (pm1,pm1). Avaliando f nesses pontos:
f(1,1)=1-3+1-3=-4, f(1,-1)=1-3-1+3=0,
f(-1,1)=-1+3+1-3=0, f(-1,-1)=-1+3-1+3=4

Passo 3

Na fronteira usamos multiplicadores de Lagrange impondo
3x^2-3=2lambda x, 3y^2-3=2lambda y, x^2+y^2=4
Dessa condição surge que ou x=y ou xy=-1.
Se x=y, então 2x^2=4 leva a x^2=2 e
f=2l(x^3-3xr)=2l(2raiz2-3raiz2r)=-2raiz2
quando x=raiz2, e f=+2raiz2 quando x=-raiz2.
Se xy=-1, nota-se que
f=x^3+y^3-3(x+y)=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=(x+y)^3
pois xy=-1. Como x^2+y^2=4 e xy=-1 implica (x+y)^2=2, obtemos x+y=pmraiz2 e assim
f=(pmraiz2)^3=pm2raiz2

Passo 4

Reunindo todos os valores:
-4,;0,;4,; -2raiz2,;2raiz2,
o mínimo absoluto é -4 e o máximo absoluto é 4.

Resposta

O valor mínimo absoluto é f(1,1)=-4 e o valor máximo absoluto é f(-1,-1)=4.

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