Em um projeto de engenharia aeronáutica, um engenheiro deseja otimizar o design de uma asa de avião para minimizar o arrasto aerodinâmico, respeitando a restrição de que a envergadura da asa deve ser o dobro do comprimento da corda (distância entre a leading edge e trailing edge). A função de arrasto é dada por f(b, c)=b^2c, onde b é a envergadura da asa e c é o comprimento da corda. Encontre os valores de b e c que minimizam o arrasto, considerando a restrição b=2 c.

Passo 1

O enunciado trata de minimizar a função de arrasto
f(b,c)=b^2c
sujeita à restrição linear
b=2c
O conteúdo aqui é otimização com restrição, que podemos resolver por substituição direta (evitando Lagrange) ou por multiplicadores de Lagrange. Vamos usar substituição, que é mais direta neste caso.

Passo 2

Substituindo b=2c em f(b,c), obtemos uma função de uma só variável c:
f(c)=f(2c,c)=(2c)^2c=4c^2c=4c

Passo 3

Analisamos a nova função
f(c)=4c, c>0
A derivada é
f'(c)=4>0,
ou seja, f(c) cresce linearmente com c. Logo, para minimizar f(c) num domínio c>0, devemos escolher o menor valor possível de c.

Passo 4

Como não foi dado nenhum limite inferior não nulo para c, o mínimo ocorre quando c atinge seu menor valor viável. Matematicamente, se permitirmos cto0^+, então
f(c)to0
e, concomitantemente,
b=2cto0

Resposta

A função de arrasto decresce até zero conforme cto0^+ e b=2cto0^+. Não existe ponto de mínimo estrito no interior de c>0; o arrasto é minimizado (no limite) por
cto0^+, b=2cto0^+

Exercícios relacionados