Em um projeto de engenharia aeronáutica, um engenheiro deseja otimizar o design de uma asa de avião para minimizar o arrasto aerodinâmico, respeitando a restrição de que a envergadura da asa deve ser o dobro do comprimento da corda (distância entre a leading edge e trailing edge). A função de arrasto é dada por
, onde
é a envergadura da asa e
é o comprimento da corda. Encontre os valores de
e
que minimizam o arrasto, considerando a restrição
.
Passo 1
O enunciado trata de minimizar a função de arrasto
sujeita à restrição linear
O conteúdo aqui é otimização com restrição, que podemos resolver por substituição direta (evitando Lagrange) ou por multiplicadores de Lagrange. Vamos usar substituição, que é mais direta neste caso.
Passo 2
Substituindo
em
, obtemos uma função de uma só variável
:
Passo 3
Analisamos a nova função
A derivada é
ou seja,
cresce linearmente com
. Logo, para minimizar
num domínio
, devemos escolher o menor valor possível de
.
Passo 4
Como não foi dado nenhum limite inferior não nulo para
, o mínimo ocorre quando
atinge seu menor valor viável. Matematicamente, se permitirmos
, então
e, concomitantemente,
Resposta
A função de arrasto decresce até zero conforme
e
. Não existe ponto de mínimo estrito no interior de
; o arrasto é minimizado (no limite) por