Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternada . O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Definimos . Primeiro mostramos que tende a zero. Como , temos
Passo 3
Agora precisamos ver que é decrescente para aplicar o teste de Leibniz. Considere a função contínua
Tomando logaritmo e derivando,
Logo é decrescente em , e portanto é decrescente.
Passo 4
Tendo , e , pelo critério de Leibniz a série alternada converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Como e^1/n > 1, segue
e^1/nn > 1n,
e a série harmônica sum 1/n diverge. Portanto sum e^1/n/n também diverge.
Passo 6
Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, logo sua convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (critério de Leibniz), mas não converge absolutamente.