Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^1 / nn

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1 e^1/nn. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos an = e^1/nn. Primeiro mostramos que an tende a zero. Como e^1/n = 1 + tfrac1n + O(tfrac1n^2), temos
e^1/nn = 1n + Ol(tfrac1n^2r) to 0 (n to infty)

Passo 3

Agora precisamos ver que an é decrescente para aplicar o teste de Leibniz. Considere a função contínua
f(x) = e^1/xx, x>0
Tomando logaritmo e derivando,
ln f(x) = -ln x + 1x,
ddxl(ln f(x)r) = -1x - 1x^2 = -x+1x^2 < 0
Logo f(x) é decrescente em (0,infty), e portanto an = f(n) é decrescente.

Passo 4

Tendo an>0, an+1 <= an e lim an = 0, pelo critério de Leibniz a série alternada converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty l|(-1)^n-1 tfrace^1/nnr| = sumn=1^infty e^1/nn
Como e^1/n > 1, segue
e^1/nn > 1n,
e a série harmônica sum 1/n diverge. Portanto sum e^1/n/n também diverge.

Passo 6

Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, logo sua convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (critério de Leibniz), mas não converge absolutamente.

Exercícios relacionados