Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
x d y-y d y=(x y)^1 / 2 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x,dy - y,dx = raizx,y,dx
e pede a sua solução geral. Reconhecemos que podemos escrever isso como
xdydx = y + raizx,y
e que a técnica de substituição y = v,x (ou seja, v=y/x) leva a uma equação separável.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x obtemos
dydx = yx + raizx,yx =yx + raizyx

Passo 3

Fazendo a troca de variável
y = v,x Longrightarrow dydx = v + xdvdx, raizyx=raizv,
substituímos na equação do passo 2:
v + xdvdx ;=; v + raizv Longrightarrow xdvdx = raizv

Passo 4

Isso é separável:
dvraizv = dxx
Integramos dos dois lados:
integral v^-tfrac12,dv = integral dxx Longrightarrow 2raizv = lnl|xr| + C1
Isolando raizv e elevando ao quadrado:
raizv = ln|x| + C12 Longrightarrow v = l(tfracln|x| + C12r)^2

Passo 5

Voltando à variável original y=v,x, definimos C = C1/2 para simplificar e obtemos
y = x,v = x l(tfracln|x| + C12r)^2 = xl(C + tfrac12ln|x|r)^2,
que é a solução geral da EDO.

Resposta

y = xl(C + tfrac12ln|x|r)^2,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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