Determine o valor médio de f e determine o xi tal que f(xi) é o valor médio.
f(x)=1x^2 em [1,3]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x)=tfrac1x^2 no intervalo [1,3] e o ponto xiin[1,3] tal que f(xi) seja exatamente esse valor médio. O conteúdo envolve o conceito de valor médio de uma função contínua, definido por
médio = 1b-aintegrala^bf(x),dx, é
e depois usar a condição f(xi)= valor médio para encontrar xi.

Passo 2

Calculamos a integral de f em [1,3]. A primitiva de x^-2 é -x^-1, logo
integral1^3x^-2,dx = l[-x^-1r]1^3 = l(-tfrac13r)-(-1) = tfrac23

Passo 3

O valor médio de f em [1,3] é
13-1integral1^31x^2,dx = 12;cdot23 = 13

Passo 4

Para achar xi tal que f(xi) seja esse valor médio, resolvemos
1xi^2 = 13 Longrightarrow xi^2=3 Longrightarrow xi=raiz3
Como raiz3approx1,732 está no intervalo [1,3], é a solução válida.

Resposta

O valor médio de f em [1,3] é tfrac13 e o ponto xi que atinge esse valor é raiz3.

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