Determine o valor médio de f e determine o xi tal que f(xi) é o valor médio.
f(x)=e^x(e^x+1)^2 em [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de
f(x)=e^x(e^x+1)^2
no intervalo [-1,1] e um xiin[-1,1] tal que
f(xi)=12-(-1)integral-1^1f(x),dx=12integral-1^1f(x),dx
O conteúdo é cálculo de valor médio de função contínua e aplicação do Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Calcular a integral
integral-1^1e^x(e^x+1)^2,dx
Fazemos a substituição u=e^x+1, então du=e^xdx. Quando x=-1, u=e^-1+1; quando x=1, u=e+1. Logo
integral-1^1e^x(e^x+1)^2,dx =integralu=e^-1+1^u=e+11u^2,du =l[-1ur]e^-1+1^,e+1 =-1e+1+1,e^-1+1,
Mas
1e^-1+1=ee+1,
então
integral-1^1f(x),dx =ee+1-1e+1 =e-1e+1

Passo 3

O valor médio é
bar f =12integral-1^1f(x),dx =12,e-1e+1 =e-12,(e+1)

Passo 4

Para achar xi resolvemos
e^xi(e^xi+1)^2 =e-12(e+1)
Multiplicando ambos os lados por (e^xi+1)^2, obtemos
2(e+1)e^xi=(e-1)(e^xi+1)^2
Fazendo t=e^xi>0, isto fica
(e-1)t^2-4t+(e-1)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
t=4pmraiz16-4(e-1)^22(e-1) =2pmraiz(3-e)(e+1),e-1,
Como e^-1<t<e, ambas as raízes são válidas e geram
xi1=ln!l(2+raiz(3-e)(e+1)e-1r), xi2=ln!l(2-raiz(3-e)(e+1)e-1r)

Passo 5

Numericamente,
xi1approx+0,5657, xi2approx-0,5657,
ambos em [-1,1] e satisfazem
,f(xii)=bar f

Resposta

O valor médio é
bar f=e-12(e+1)
Os pontos que dão f(xi)=bar f são
xi=ln!l(2pmraiz(3-e)(e+1)e-1r) approxpm0,5657

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