Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(2 xy-yx^2+y^2) d x+(xx^2+y^2-x^2y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
l(2xy-yx^2+y^2r),dx+l(xx^2+y^2-x^2y^2r),dy=0
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é equações exatas: vamos identificar M(x,y) e N(x,y), verificar exatidão, achar a função potencial Psi(x,y) e obter a solução implícita Psi(x,y)=C.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2xy-yx^2+y^2, N(x,y)=xx^2+y^2-x^2y^2
Calculamos
partial Mpartial y =-2xy^2 +y^2-x^2(x^2+y^2)^2
e
partial Npartial x =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -2xy^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que Psix=M. Integramos M em x:
Psi(x,y) =integrall(2xy-yx^2+y^2r),dx =x^2y-underbraceintegralyx^2+y^2,dx=arctan(tfracxy) =x^2y-arctan!l(tfracxyr)+h(y)

Passo 4

Impondo Psiy=N, calculamos
Psiy =-x^2y^2 +xx^2+y^2 +h'(y),
que deve igualar N=xx^2+y^2-x^2y^2. Daí h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 5

A solução implícita é
Psi(x,y) =x^2y-arctan!l(tfracxyr)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y-arctan!l(tfracxyr)=C

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