Determine o valor médio de f e determine o xi tal que f(xi) é o valor médio.
f(x)=x^2+2 x em [0,3]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x)=x^2+2x no intervalo [0,3] e depois encontrar xiin[0,3] tal que
f(xi)=valor médioé
O conteúdo é o conceito de valor médio de uma função contínua em um intervalo e o Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

O valor médio de uma função contínua f em [a,b] é dado por
bar f = 1b-aintegrala^b f(x),dx
Aqui temos a=0, b=3 e f(x)=x^2+2x.

Passo 3

Calculamos a integral
integral0^3l(x^2+2xr),dx =integral0^3x^2,dx ;+;integral0^32x,dx =l[tfracx^33r]0^3+l[x^2r]0^3 =l(9-0r)+l(9-0r)=18

Passo 4

Logo, o valor médio é
bar f =13-0times 18 =6

Passo 5

Queremos xi em [0,3] tal que
f(xi)=xi^2+2xi=6
Isso dá a equação
xi^2+2xi-6=0
As raízes são
xi=-2pmraiz4+242 =-2pmraiz282 =-1pmraiz7
A única que pertence a [0,3] é
xi=-1+raiz7approx1,646.

Resposta

O valor médio de f em [0,3] é 6 e o ponto xi em que f(xi)=6 é
xi=-1+raiz7

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