Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(2 y+1) d x+(x^2-yx) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
(2y+1),dx ;+;gl(x^2 - yxgr),dy ;=;0
Aqui identificamos
M(x,y)=2y+1, N(x,y)=x^2 - yx=x-yx
Queremos achar uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x=M, partialphipartial y=N,
ou, se não for exata, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
partial Mpartial y =2, partial Npartial x =ddxl(x-yxr) =1+yx^2
Como 2neq1+tfracyx^2, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x) que dependa só de x.
Usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2-l(1+tfracyx^2r),x-tfracyx, =1-tfracyx^2x^2-yx =1x
Logo
mu(x)=exp!l(integral1x,dxr)=x

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=x. Obtemos
x(2y+1),dx + (x^2 - y),dy = 0,
isto é
widetilde M(x,y)=2xy+x, widetilde N(x,y)=x^2-y
Verificamos agora
partialwidetilde Mpartial y=2x, partialwidetilde Npartial x=2x,
portanto a equação é exata.

Passo 5

Procuramos phi(x,y) tal que
partialphipartial x =2xy+x
Integrando em relação a x:
phi(x,y) =integral(2xy+x),dx =x^2y+x^22+h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora impomos
partialphipartial y =x^2 + h'(y) ;stackrel!=;x^2 - y,
logo h'(y)=-y e
h(y)=-y^22
Assim
phi(x,y) =x^2y+x^22-y^22

Passo 6

A solução geral implícita vem de
phi(x,y)=C,
isto é
x^2y+x^22-y^22=C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^2y+x^22-y^22=C,
onde C é constante arbitrária.

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