Identifique e esboce as cônicas a seguir:
2 x^2-3 y^2=6

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é a equação
2x^2-3y^2=6
e em seguida esboçar o seu gráfico. O conteúdo aqui é classificação de cônicas a partir da forma geral e reescrita em forma canônica para extrair parâmetros como centro, vértices e assíntotas.

Passo 2

Para classificar, olhamos os coeficientes de x^2 e y^2: são +2 e -3. Como têm sinais opostos, trata-se de uma hipérbole. O sinal positivo em x^2 indica que o eixo transverso é horizontal.

Passo 3

Vamos reescrever em forma canônica. Dividindo os dois lados por 6, temos
2x^26-3y^26=1
ou seja
x^23-y^22=1

Passo 4

Da forma
x^2a^2-y^2b^2=1
reconhecemos
a^2=3, b^2=2, a=raiz3, b=raiz2
O centro é (0,0). Os vértices estão em (pm a,0)=(pmraiz3,0). As assíntotas de uma hipérbole centrada são
y=pmba,x Longrightarrow y=pmraiz23;x

Passo 5

Para esboçar:
  1. Marque o centro na origem.
  2. Desenhe os vértices em (raiz3,0) e (-raiz3,0).
  3. Trace as retas-guia y=pmraiztfrac23,x.
  4. Desenhe as duas curvas da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

É uma hipérbole centrada na origem, de eixo transverso horizontal, cuja forma canônica é
x^23-y^22=1,
com vértices em (pmraiz3,0) e assíntotas y=pmraiztfrac23,x.

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