Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=3 x^2-2 y-y^32 x+3 x y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
dydx = 3x^2 - 2y - y^32x + 3x y^2
e pede a solução geral. Vamos usar o método de equação exata, que exige escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Escrevendo em forma diferencial:
dydx = 3x^2 - 2y - y^32x + 3x y^2 ;Longrightarrow; (3x^2 - 2y - y^3),dx - (2x + 3x y^2),dy = 0
Para ficar no padrão M,dx + N,dy=0, definimos
M(x,y) = 3x^2 - 2y - y^3, N(x,y) = -l(2x + 3x y^2r)

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2 - 3y^2, partial Npartial x = -l(2 + 3y^2r) = -2 - 3y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M = 3x^2 - 2y - y^3
Integramos em x, tratando y como constante:
psi(x,y) = integral (3x^2 - 2y - y^3),dx = x^3 - 2yx - y^3x + h(y)

Passo 5

Agora impomos psiy = N. Calculamos
psiy = partialpartial yl(x^3 - 2yx - y^3x + h(y)r) = -2x - 3y^2x + h'(y)
Devemos ter psiy = N = -(2x + 3x y^2), logo
-2x - 3y^2x + h'(y) = -2x - 3y^2x ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante

Passo 6

Portanto a solução implícita é
psi(x,y) = x^3 - 2yx - y^3x = C,
ou, reorganizando,
x^3 - xl(2y + y^3r) = C Long<=ftrightarrow x,(y^3 + 2y) - x^3 = K,
onde C (ou K) é a constante de integração.

Resposta

x,(y^3 + 2y) - x^3 = C,
sendo C a constante de integração.

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