Utilize a mudança para coordenadas polares para calcular a integral dada.
(g) integral duplaR arctan (y / x) d A em que R=(x, y): 1 <= x^2+y^2 <= 4 e 0 <= y <= x;

Passo 1

O enunciado pede calcular integral duplaRarctanl(tfrac yxr),dA sobre a região
R=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<=4,;0<= y<= x
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, onde fazemos
x=rcostheta, y=rsintheta,
o jacobiano é r e em polares arctan(y/x)=theta no primeiro quadrante.

Passo 2

Em coordenadas polares a condição radial 1<= x^2+y^2<=4 vira
1<= r^2<=4Longrightarrow 1<= r<=2
As desigualdades y>=0 e y<= x equivalem a
sintheta>=0 e sintheta<=costheta, o que restringe
0<=theta<=pi4

Passo 3

Substituindo arctan(y/x)=theta e dA=r,dr,dtheta, a integral fica
integraltheta=0^pi/4integralr=1^2theta,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte em r:
integralr=1^2r,dr =r^22|1^2 =42-12 =32
Logo a integral passa a ser
32integral0^pi/4theta,dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/4theta,dtheta =theta^22|0^pi/4 =12l(pi4r)^2 =pi^232
Multiplicando por tfrac32 obtemos
32cdotpi^232 =3pi^264

Resposta

3pi^264.

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