Determine o valor médio da função f(x, y, z)=x+y+z sobre o tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e ( 0,0,1 ).
Os exercicios 17 e 18 podem ser deixados para fazer quando tivermos visto as aplicaçర́es de integrais triplas.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de
f(x,y,z)=x+y+z
sobre o tetraedro T com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Em geral, o valor médio de uma função f num domínio DsubsetR^3 é
bar f = 1Vol(D) integral triplaD f(x,y,z),dV
Aqui vamos precisar
  1. do volume de T, e
  2. da integral tripla de f sobre T.

Passo 2

Definimos T como
T = (x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x+y+z<=1
O volume de T é conhecido como volume do simplex em R^3, dado por
Vol(T)=13!=16
Se preferir verificar por integral, note que
Vol(T) =integralz=0^1integraly=0^1-zintegralx=0^1-y-zdx,dy,dz =16

Passo 3

Vamos calcular
I=integral triplaT(x+y+z),dV
Por simetria, integral triplaTx,dV=integral triplaTy,dV=integral triplaTz,dV, logo
I=3integral triplaTx,dV
Agora
integral triplaTx,dV =integralz=0^1integraly=0^1-zintegralx=0^1-y-zx,dx,dy,dz
Primeiro em x:
integral0^1-y-zx,dx =(1-y-z)^22
Depois em y: com u=1-z,
integral0^1-z(1-y-z)^22,dy =12integral0^u(u-y)^2dy =12cdotu^33 =(1-z)^36
Finalmente em z:
integral triplaTx,dV =integral0^1(1-z)^36,dz =16cdot14 =124
Portanto
I=3cdot124=18

Passo 4

O valor médio de f sobre T é
bar f =1Vol(T),I =1tfrac16cdot18 =6cdot18 =34

Resposta

34

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