Determine
valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e (
).
Os exercicios 17 e 18 podem ser deixados para fazer quando tivermos visto as aplicaçర́es de integrais triplas.
Passo 1
O enunciado pede o valor médio de
sobre o tetraedro
com vértices
,
,
,
.
Em geral, o valor médio de uma função num domínio
é
Em geral, o valor médio de uma função
Aqui vamos precisar
- do volume de
, e - da integral tripla de
sobre .
Passo 2
Definimos
como
O volume de
é conhecido como volume do simplex em
, dado por
Se preferir verificar por integral, note que
Passo 3
Vamos calcular
Por simetria,
, logo
Agora
Primeiro em
:
Depois em
: com
,
Finalmente em
:
Portanto
Passo 4
O valor médio de
sobre
é