Questão 1. (valor: 1,0) Seja C uma curva parametrizada z(t)=3 t+i t^2, 0 <= t <= 1, com f(z)=barz. Calcule integralC f(z) d z.
Cálculo:
Resposta Final:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCf(z),dz
onde f(z)=z e C é a curva parametrizada por
z(t)=3t + i,t^2, 0<= t<=1
O que precisamos usar é a fórmula de integral de linha em variáveis complexas:
integralCf(z),dz ;=;integral0^1fl(z(t)r),z'(t),dt

Passo 2

Vamos achar z'(t) e z(t).
z'(t)=ddtl(3t+i,t^2r)=3 + i,2t
z(t)=3t + i,t^2=3t - i,t^2

Passo 3

Substituindo no integrando:
fl(z(t)r),z'(t) =(3t - i,t^2),(3 + 2i,t)
Multiplicando:
(3t)(3)=9t, (3t)(2i,t)=6i,t^2,(-i,t^2)(3)=-3i,t^2,(-i,t^2)(2i,t)=-2i^2t^3=2t^3
Logo
(3t - i,t^2)(3+2i,t) =9t +2t^3 + i,(6t^2-3t^2) =9t +2t^3 + i,3t^2

Passo 4

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1l(9t+2t^3r),dt = [9t^22+2t^44]0^1 =92+12=5,
integral0^13t^2,dt =[t^3]0^1=1
Assim
integralCf(z),dz =5 + icdot1 =5 + i

Resposta

5 + i

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