Questão 2. (valor: 1,0) Para quais valores de a série converge?
Cálculo:
Passo 1
O enunciado pede os valores de para os quais a série
converge. É uma série de potências em com coeficientes . Vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz, consideramos
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de |3x|<1, ou seja
|x|<13
Logo, a série converge absolutamente para |x|<1/3.
Passo 3
Falta agora checar os pontos na fronteira |x|=1/3.
x = 1/3: a série vira
sumn=1^infty3^n(1/3)^nn =sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica, logo diverge.
x = -1/3: a série vira
sumn=1^infty3^n(-1/3)^nn =sumn=1^infty(-1)^nn,
que é a série alternante de Leibniz e converge condicionalmente.
Resposta
A série converge absolutamente para |x|<1/3 e converge condicionalmente em x=-1/3; diverge em x=1/3. Portanto, o conjunto de convergência é