Questão 2. (valor: 1,0) Para quais valores de x a série sumn=1^infty 3^n x^nn converge?
Cálculo:

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
sumn=1^infty3^nx^nn
converge. É uma série de potências em x com coeficientes an=3^n/n. Vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, consideramos
limntoinftygl|3^nx^nngr|^1/n =limntoinfty|3x|n^1/n =;|3x|cdotlimntoinftyn^-1/n =|3x|cdot1 =|3x|
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de |3x|<1, ou seja
|x|<13
Logo, a série converge absolutamente para |x|<1/3.

Passo 3

Falta agora checar os pontos na fronteira |x|=1/3.
x = 1/3: a série vira
sumn=1^infty3^n(1/3)^nn =sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica, logo diverge.
x = -1/3: a série vira
sumn=1^infty3^n(-1/3)^nn =sumn=1^infty(-1)^nn,
que é a série alternante de Leibniz e converge condicionalmente.

Resposta

A série converge absolutamente para |x|<1/3 e converge condicionalmente em x=-1/3; diverge em x=1/3. Portanto, o conjunto de convergência é
-,tfrac13;<= x<tfrac13

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