Determine o valor médio das seguintes funções ao longo do intervalo dado:
g(t)=t^2-t em [-1,2]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função g(t)=t^2-t no intervalo [-1,2]. Esse é um conceito de cálculo integral que define o valor médio de uma função contínua f em [a,b] como
f = 1b-aintegrala^b f(x),dx

Passo 2

Vamos calcular a integral definida de g(t) de -1 a 2. Primeiro, achamos a primitiva:
integral (t^2 - t),dt = t^33 - t^22 + C
Agora avaliamos nos limites:
integral-1^2 (t^2 - t),dt = l[t^33 - t^22r]-1^2
Para t=2:
2^33 - 2^22 = 83 - 2 = 23
Para t=-1:
(-1)^33 - (-1)^22 = -13 - 12 = -56
Ficando
integral-1^2 (t^2 - t),dt = 23 - l(-tfrac56r) = 23 + 56 = 32

Passo 3

Aplicando a definição de valor médio:
g = 12 - (-1) integral-1^2 (t^2 - t),dt = 13 cdot 32 = 12

Resposta

tfrac12

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