Seja S uma superfície parametrizada dada por 0 <= u <= 2 pi, v >= 0, com phi(0,1).
a) Identifique esta superfície
b) Encontre uma equação do plano tangente a S em 2 x+z-2=0
(Paraboloide circular, , Jaine Mércia F. De Oliveira)

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada phi(u,v) = (vcos u,;vsin u,;1 - v^2) para 0 <= u <= 2pi, v >= 0. Precisamos reconhecer qual é essa superfície em coordenadas cartesianas e depois achar o plano tangente em phi(0,1). Vamos usar mudança de variáveis para identificar a superfície e derivadas parciais mais produto vetorial para o plano tangente.

Passo 2

Identificação da superfície: como x = vcos u e y = vsin u, logo v^2 = x^2 + y^2. Substituindo em z = 1 - v^2 obtemos:
z = 1 - (x^2 + y^2)
Isso mostra que S é um paraboloide circular invertido (abertura para baixo) com vértice em (0,0,1).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
phiu(u,v) = (-vsin u,;vcos u,;0),
phiv(u,v) = (cos u,;sin u,;-2v)
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial N = phiu times phiv.

Passo 4

Avaliação em (u,v)=(0,1):
phi(0,1) = (1,0,0),
phiu(0,1) = (0,1,0),
phiv(0,1) = (1,0,-2),
N = phiu(0,1) times phiv(0,1) = (-2,0,-1)
Podemos usar N' = -N = (2,0,1) como normal. A forma ponto-normal do plano tangente em (1,0,0) é:
2(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0,
que simplifica para
2x + z - 2 = 0

Resposta

a) A superfície é um paraboloide circular invertido dado por z = 1 - x² - y².
b) O plano tangente em φ(0,1) é 2x + z - 2 = 0.

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