Seja
uma superfície parametrizada dada por
, com
.
a) Identifique esta superfície
b) Encontre uma equação do plano tangente a S em
(Paraboloide circular,
, Jaine Mércia F. De Oliveira)
a) Identifique esta superfície
b) Encontre uma equação do plano tangente a S em
(Paraboloide circular,
Passo 1
O enunciado dá a superfície parametrizada
para
,
. Precisamos reconhecer qual é essa superfície em coordenadas cartesianas e depois achar o plano tangente em
. Vamos usar mudança de variáveis para identificar a superfície e derivadas parciais mais produto vetorial para o plano tangente.
Passo 2
Identificação da superfície: como
e
, logo
. Substituindo em
obtemos:
Isso mostra que S é um paraboloide circular invertido (abertura para baixo) com vértice em
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais:
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial
.
Passo 4
Avaliação em
:
Podemos usar
como normal. A forma ponto-normal do plano tangente em
é:
que simplifica para
Resposta
a) A superfície é um paraboloide circular invertido dado por z = 1 - x² - y².
b) O plano tangente em φ(0,1) é 2x + z - 2 = 0.
b) O plano tangente em φ(0,1) é 2x + z - 2 = 0.