Determine o valor médio de f(x, y)=x sen x y acima do retângulo R=[0, pi / 2] times[0,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=xsin (xy) definida no retângulo R=[0,pi2]times[0,1] e pede o valor médio dessa função sobre R. O conteúdo aqui é valor médio de função de duas variáveis, usando integral dupla e a fórmula de valor médio.

Passo 2

Precisamos primeiro lembrar que a área de R é o produto dos comprimentos dos lados. Como R=[0,pi2]times[0,1], temos
área(R)=pi2cdot1=pi2á

Passo 3

O valor médio bar f é dado por
bar f=1área(R)integral0^pi2integral0^1xsin(xy),dy,dxá

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a y:
integral0^1sin(xy),dy=gl[-cos(xy)xgr]y=0^y=1=1-cos xx

Passo 5

Substituindo na integral dupla, o integrando fica
xcdot1-cos xx=1-cos x,
então a integral externa em x é
integral0^pi2(1-cos x),dx

Passo 6

Essa integral dá
integral0^pi21,dx-integral0^pi2cos x,dx=l[x-sin xr]0^pi2=pi2-1

Passo 7

Por fim, multiplicamos por 1/área(R)=2/piá:
bar f=2pil(pi2-1r)=1-2pi

Resposta

1-2pi

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