Sejam u=(-15, 23) e v=(13, 1) vetores do R^2. Em cada alternativa, obtenha o vetor w que satisfaz a equação.
(a) 13(2 u+w)+v=w+13 v
(b) 12(2 u-2 w)+3 w=13(2 w+v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício! A gente tem dois vetores no plano, u = (-15, 23) e v = (13, 1). A gente precisa encontrar o vetor w que satisfaz a equação da parte (a):
13(2 u+w)+v=w+13 v
Vamos usar propriedades de operações com vetores para isolar a w.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir o 13 na expressão 13(2 u + w):
13 cdot 2 u + 13 w = 23 u + 13 w
Então, a equação fica:
23 u + 13 w + v = w + 13 v

Passo 3

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm w de um lado e os demais do outro:
23 u + v = w + 13 v - 13 w
Simplificando a equação:
23 u + v = 23 w + 13 v

Passo 4

Vamos isolar w:
23 w = 23 u + v - 13 v
Simplificando o lado direito:
23 w = 23 u + 23 v

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados por 32 para resolver para w:
w = u + v
Substituindo os valores dos vetores:
w = (-15, 23) + (13, 1) = (-15 + 13, 23 + 1)
Calculando as somas:
w = (215, 53)

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A equação que precisamos resolver é:
12(2 u - 2 w) + 3 w = 13(2 w + v)
Vamos novamente usar propriedades de operações com vetores para encontrar w.

Passo 7

Primeiro, distribuímos o 12 na expressão 12(2 u - 2 w):
12 cdot 2 u - 12 cdot 2 w = u - w
Então, a equação fica:
u - w + 3 w = 13(2 w + v)
Simplificando os termos do lado esquerdo:
u + 2 w = 23 w + 13 v

Passo 8

Vamos isolar os termos que contêm w:
2 w - 23 w = 13 v - u
Simplificando:
43 w = 13 v - u

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por 34 para resolver para w:
w = 34 ( 13 v - u ) = 14 v - 34 u
Substituindo os valores dos vetores:
w = 14 (13, 1) - 34 (-15, 23)
Calculando as multiplicações:
w = (112, 14) + (320, -12) = (112 + 320, 14 - 12)
Convertendo para denominadores comuns e somando:
w = (560 + 960, 14 - 24) = (1460, -14) = (730, -14)

Resposta

O vetor w que satisfaz a equação da parte (b) é w = (730, -14).

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