Determine o valor de k, de modo que cada uma das funções dadas abaixo seja contínua no ponto a indicado.
a=2 ; f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-8}{x-2}, \text { se } x \neq 2 \\\ k, \text { se } x=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-8}{x-2}, & x\neq2,\\\ k, & x=2, \end{cases}
e pede o valor de k para que f seja contínua em a=2. O conteúdo envolvido é limite de função e definição de continuidade num ponto.

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade em x=2: f é contínua em 2 se, e somente se,
\lim_{x\to2}f(x)=f(2).
Como f(2)=k, precisamos calcular \lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{x-2} e igualar a k.

Passo 3

Para encontrar \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{x-2}, usamos a fatoração da diferença de cubos:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3} = (x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Assim, para x\neq2,
\frac{x^{3}-8}{x-2} = x^{2}+2x+4.

Passo 4

Agora basta avaliar x^{2}+2x+4 em x=2:
2^{2} + 2\cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
Logo
\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{x-2} = 12.

Passo 5

Para que f seja contínua em 2, deve valer
k = \lim_{x\to2}f(x) = 12.

Resposta

k = 12

Exercícios relacionados