(2.0) Resolva
\int \frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int \frac{x+1}{x(x^2+1)}\,dx. Este é um problema de integração usando frações parciais. Vamos decompor o integrando em termos simples que podemos integrar diretamente usando \ln e \arctan.

Passo 2

Assumimos
\frac{x+1}{x(x^2+1)} \;=\; \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtemos
x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)\,x.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^2 + A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + Cx + A.
Comparando com x+1 = 0x^2 + 1x + 1
A + B = 0, \quad C = 1, \quad A = 1.
Logo A=1, B=-1, C=1.

Passo 4

Substituindo de volta, o integrando fica
\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} \;-\; \frac{x}{x^2+1} \;+\; \frac{1}{x^2+1}.

Passo 5

Integramos cada termo: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|, \displaystyle \int -\frac{x}{x^2+1}\,dx = -\tfrac12\ln(x^2+1) (substituindo u=x^2+1), \displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan x.

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante C, obtemos
\int \frac{x+1}{x(x^2+1)}\,dx = \ln|x| - \tfrac12\ln(x^2+1) + \arctan x + C.

Resposta

\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \arctan x + C

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