Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
e depois escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. Vamos usar geometria analítica para identificar a região no plano
e em seguida achar os novos limites.
Passo 2
A região
é definida por
Para esboçar, note que a fronteira superior é a reta
. Seus pontos de interseção com as retas limites são:
A fronteira inferior é a reta horizontal
para
. Logo,
é o triângulo de vértices
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro vemos que
varia de seu mínimo até seu máximo em
:
Dado um
fixo nessa faixa,
fica entre a reta vertical
e a reta
. Despejando essa última em
, obtemos
logo
Passo 4
Com isso, a integral com a ordem invertida fica
Resposta
A região de integração é o triângulo com vértices
,
e
, e a integral na ordem invertida é