Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{1} \int_{2}^{4-2 x} s(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
\int_{0}^{1}\int_{2}^{4-2x} s(x,y)\,dy\,dx
e depois escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. Vamos usar geometria analítica para identificar a região no plano xy e em seguida achar os novos limites.

Passo 2

A região R é definida por
0 \le x \le 1, \quad 2 \le y \le 4 - 2x.
Para esboçar, note que a fronteira superior é a reta y = 4 - 2x. Seus pontos de interseção com as retas limites são:
x=0\implies y=4, \qquad y=2\implies 2 = 4 - 2x\implies x=1.
A fronteira inferior é a reta horizontal y=2 para 0\le x\le1. Logo, R é o triângulo de vértices (0,2), (1,2) e (0,4).

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro vemos que y varia de seu mínimo até seu máximo em R:
2 \,\le\, y \,\le\, 4.
Dado um y fixo nessa faixa, x fica entre a reta vertical x=0 e a reta y=4-2x. Despejando essa última em x, obtemos
x \le \frac{4 - y}{2},
logo
0 \le x \le \frac{4 - y}{2}.

Passo 4

Com isso, a integral com a ordem invertida fica
\int_{y=2}^{4} \int_{x=0}^{\frac{4 - y}{2}} s(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

A região de integração é o triângulo com vértices (0,2), (1,2) e (0,4), e a integral na ordem invertida é
\int_{2}^{4}\!\int_{0}^{\frac{4-y}{2}} s(x,y)\,dx\,dy.

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