Questão 2. (Teste da Raiz) Use o Teste da Raiz para discutir a convergência de:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4 n-1}{2 n+1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4n-1}{2n+1}\Bigr)^{n}
usando o Teste da Raiz. Para isso, vamos lembrar que, dado a_n, definimos
L = \limsup_{n\to\infty} \bigl|a_n\bigr|^{1/n}.
Se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui a_n=\bigl(\frac{4n-1}{2n+1}\bigr)^{n}. Então
\bigl|a_n\bigr|^{1/n} =\left|\frac{4n-1}{2n+1}\right| =\frac{4n-1}{2n+1}.
Agora calculamos o limite dessa expressão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{4n-1}{2n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{4-\tfrac1n}{2+\tfrac1n} =\frac{4}{2} =2.

Passo 3

Como o Teste da Raiz dá
L = 2 > 1,
concluímos imediatamente que a série diverge, pois os termos não tendem a zero rápido o bastante.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz.

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