O enunciado dá o sistema com duas equações e duas incógnitas x_{1}\) e \(x_{2}\):
\[\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=h,\\[4pt] -6x_{1}+3x_{2}=k. \end{cases}
O que nos pedem: determinar os valores de h\] e \(k tais que o sistema seja consistente (isto é, tenha pelo menos uma solução).
Informações fornecidas que são relevantes: os coeficientes das incógnitas em cada equação e os termos independentes h e k.]
Passo 2
Explicação didática do que significa “sistema consistente” e como testar isso aqui.
Um sistema linear é consistente se existe pelo menos uma solução. Para sistemas lineares com matrizes de coeficientes, uma forma prática de testar consistência é comparar os postos (ranks) da matriz de coeficientes e da matriz ampliada (coeficientes com os termos independentes). Mas, para este sistema 2×2 dá para ver tudo pela relação entre as linhas (ou entre as equações):
Se as duas equações têm as mesmas combinações dos coeficientes (ou seja, uma é múltiplo da outra), então o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo de os termos independentes serem ou não múltiplos com o mesmo fator.
Se as duas equações NÃO são múltiplos uma da outra, o sistema tem determinante não nulo e, portanto, exatamente uma solução (sempre consistente).
Vamos aplicar isso ao sistema dado.
Passo 3
Calcular o determinante da matriz de coeficientes para ver se a matriz é invertível (caso inversível, o sistema é automaticamente consistente e tem solução única). A matriz de coeficientes é
Como \det(A)=0, a matriz é singular (não invertível). Logo, não teremos sempre uma solução única; as equações são linearmente dependentes (uma é múltiplo da outra) ou afins. Precisamos verificar a relação entre os termos independentes h e k.]
Passo 4
Encontrar a relação entre as duas equações. Observe que multiplicando a primeira equação por -3 obtemos:
Comparando com a segunda equação que é -6x_{1}+3x_{2}=k, vemos que os lados com as incógnitas coincidem. Portanto, para que ambas as equações sejam compatíveis (i.e., representem a mesma condição), o termo independente da segunda deve ser igual ao que apareceu ao multiplicar a primeira por -3. Assim a condição necessária e suficiente para consistência é
k=-3h.
Passo 5
Interpretação em termos de posto (rank) e soluções:
Se k=-3h, então a segunda equação é exatamente -3 vezes a primeira, as duas linhas da matriz de coeficientes são dependentes e a matriz aumentada tem o mesmo posto da matriz de coeficientes (posto =1). Nesse caso o sistema é consistente e tem infinitas soluções (uma família de soluções com um parâmetro).
Se k\neq -3h, as equações têm a mesma combinação linear à esquerda mas termos independentes diferentes, então a matriz aumentada tem posto maior que o da matriz de coeficientes (posto =2 vs 1), o sistema é inconsistente (não tem solução).
Passo 6
Para fixar a ideia, quando k=-3h podemos escrever explicitamente a família de soluções. A primeira equação dá