Determine os valores de h e k tais que o seguinte sistema seja consistente:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=h \\\\ -6 x_{1}+3 x_{2}=k \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com duas equações e duas incógnitas x_{1}\) e \(x_{2}\): \[\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=h,\\[4pt] -6x_{1}+3x_{2}=k. \end{cases}
O que nos pedem: determinar os valores de h\] e \(k tais que o sistema seja consistente (isto é, tenha pelo menos uma solução).
Informações fornecidas que são relevantes: os coeficientes das incógnitas em cada equação e os termos independentes h e k.]

Passo 2

Explicação didática do que significa “sistema consistente” e como testar isso aqui.
Um sistema linear é consistente se existe pelo menos uma solução. Para sistemas lineares com matrizes de coeficientes, uma forma prática de testar consistência é comparar os postos (ranks) da matriz de coeficientes e da matriz ampliada (coeficientes com os termos independentes). Mas, para este sistema 2×2 dá para ver tudo pela relação entre as linhas (ou entre as equações):
  • Se as duas equações têm as mesmas combinações dos coeficientes (ou seja, uma é múltiplo da outra), então o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo de os termos independentes serem ou não múltiplos com o mesmo fator.
  • Se as duas equações NÃO são múltiplos uma da outra, o sistema tem determinante não nulo e, portanto, exatamente uma solução (sempre consistente).
Vamos aplicar isso ao sistema dado.

Passo 3

Calcular o determinante da matriz de coeficientes para ver se a matriz é invertível (caso inversível, o sistema é automaticamente consistente e tem solução única). A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-6 & 3\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A)=2\cdot 3 - (-1)\cdot(-6)=6-6=0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular (não invertível). Logo, não teremos sempre uma solução única; as equações são linearmente dependentes (uma é múltiplo da outra) ou afins. Precisamos verificar a relação entre os termos independentes h e k.]

Passo 4

Encontrar a relação entre as duas equações. Observe que multiplicando a primeira equação por -3 obtemos:
-3\,(2x_{1}-x_{2}) = -3h \quad\Longrightarrow\quad -6x_{1}+3x_{2}=-3h.
Comparando com a segunda equação que é -6x_{1}+3x_{2}=k, vemos que os lados com as incógnitas coincidem. Portanto, para que ambas as equações sejam compatíveis (i.e., representem a mesma condição), o termo independente da segunda deve ser igual ao que apareceu ao multiplicar a primeira por -3. Assim a condição necessária e suficiente para consistência é
k=-3h.

Passo 5

Interpretação em termos de posto (rank) e soluções:
  • Se k=-3h, então a segunda equação é exatamente -3 vezes a primeira, as duas linhas da matriz de coeficientes são dependentes e a matriz aumentada tem o mesmo posto da matriz de coeficientes (posto =1). Nesse caso o sistema é consistente e tem infinitas soluções (uma família de soluções com um parâmetro).
  • Se k\neq -3h, as equações têm a mesma combinação linear à esquerda mas termos independentes diferentes, então a matriz aumentada tem posto maior que o da matriz de coeficientes (posto =2 vs 1), o sistema é inconsistente (não tem solução).

Passo 6

Para fixar a ideia, quando k=-3h podemos escrever explicitamente a família de soluções. A primeira equação dá
2x_{1}-x_{2}=h \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=2x_{1}-h.
Tomando x_{1}=t como parâmetro (com t\in\mathbb{R}), obtemos
x_{1}=t,\qquad x_{2}=2t-h,
que de fato satisfaz ambas as equações quando k=-3h. Isso mostra que há infinitas soluções parametrizadas por t.

Resposta

k=-3h

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