Determine o valor de k de modo que o sistema
l -x+2 y+k z=1 k x+4 y-4 z=2 2 x+y+z=-2 k
seja:
impossível.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
- x + 2y + k z = 1, k x + 4y - 4z = 2, 2x + y + z = -2k,
e pede o valor de k para que o sistema seja impossível. O conteúdo aqui é determinação de quando o sistema é inconsistente, o que ocorre se a matriz dos coeficientes for singular (determinante zero) e o sistema não puder ser satisfeito (posto aumentado maior que posto da matriz).

Passo 2

Compute o determinante da matriz dos coeficientes
A = -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
Usando expansão pela primeira linha,
det(A) = (-1)det4 & -41 & 1 -2detk & -42 & 1 +kdetk & 42 & 1
Calculando cada menor,
det(A) = (-1)(4cdot1 -(-4)cdot1) -2l(kcdot1 -(-4)cdot2r) + kl(kcdot1 -4cdot2r) = k^2 -10k -24
Assim det(A)=0 se, e somente se,
k^2 -10k -24 = 0 Longrightarrow k = 12 ou k = -2

Passo 3

Para
Note que as duas primeiras equações não tornam o terceiro múltiplo delas de forma compatível: resolvendo linearmente as duas primeiras obtemos uma relação entre que, ao tentar satisfazer a terceira, leva a uma contradição numérica (por exemplo, resulta em ). Logo, para o sistema é inconsistente (impossível).

Passo 4

Para
Aqui a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, e a terceira não gera contradição, resultando em infinitas soluções. Logo, para (k=-2] o sistema é possível (dependente).

Resposta

O sistema é impossível somente para k = 12.

Exercícios relacionados