Encontre as coordenadas no sistema de coordenadas usual do ponto P tal que suas cordenadas no sistema S são [P]S=(1,1,1), onde S=O,(1,2,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de coordenadas S formado pelo ponto-origem O e pelos vetores
v1=(1,2,1), v2=(0,1,1), v3=(0,0,1)
no sistema usual. Ele diz que as coordenadas de P em S são
[P]S=(1,1,1),
ou seja, P é a combinação linear
P = 1cdot v1 + 1cdot v2 + 1cdot v3
Para achar as coordenadas de P no sistema usual, basta computar essa soma de vetores.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
P = (1,2,1) + (0,1,1) + (0,0,1)
Aqui estamos somando componente a componente: a componente x de P é a soma das componentes x de cada vetor, e o mesmo para y e z.

Passo 3

Somando componente a componente:
xP = 1 + 0 + 0 = 1, yP = 2 + 1 + 0 = 3, zP = 1 + 1 + 1 = 3
Logo, em coordenadas usuais P=(xP,yP,zP)=(1,3,3).

Resposta

P = (1,3,3)

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