Seja V o subconjunto de R^4 dos vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação x+y-z=0.
Mostre que V é um subespaço de R^4.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y,z,w)inR^4 mid x+y-z=0.
Queremos mostrar que V é subespaço de R^4. Para isso, usamos o critério padrão:
  1. 0in V.
  2. Se u,vin V então u+vin V.
  3. Se uin V e alphainR então alpha uin V.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero está em V.
O vetor zero é (0,0,0,0). Substituindo em x+y-z temos
0+0-0 = 0,
logo (0,0,0,0)in V.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam u=(x1,y1,z1,w1)in V e v=(x2,y2,z2,w2)in V. Então
x1+y1-z1 = 0 e x2+y2-z2 = 0
O somatório é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2)
e verificamos
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2) = (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2) = 0+0 = 0
Portanto u+vin V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja alphainR e u=(x,y,z,w)in V com x+y-z=0. Então
alpha u = (alpha x,alpha y,alpha z,alpha w),
e
alpha x + alpha y - alpha z = alpha,(x+y-z) = alphacdot 0 = 0
Logo alpha u in V.

Resposta

V é um subespaço de R^4.

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